Chaotische Symmetrien ist der Titel eines Buches von Michael Field und Martin Golubitsky. In dem Buch wird gezeigt, wie man verschiedene hübsche symmetrische Bilder berechnen kann. Das besondere an diesen Bildern ist, dass sie auf Grundlage chaotischer komplexer Funktionen erstellt werden. Diese Funktionen werden rekursiv angewandt, d.h. dass immer wieder ein gerade erhaltener Funktionswert als neues Argument eingesetzt wird. Dadurch, dass es sich um komplexe Funktionen handelt, entspricht jeder der Funktionswerte nicht einem Punkt auf der Zahlengerade sondern auf der Zahlenebenen. So kann man den Funktionswerten Bildpunkte zuordnen. Chaotisch heißen die Funktionen, weil man (in Abhängighkeit vom Anfangswert) nicht berechnen kann, welchen Wert, also Bildpunkt, man nach sehr vielen Rekursionen erhält. Man kann noch nicht einmal vorhersagen, wo in etwa man landen wird, selbst dann nicht, wenn man die Berechnung für einen benachbarten Bildpunkt bereits durchgeführt hat, weil geringe Änderungen in den Anfangsbedingunen, große Wirkungen im Ergebnis haben können (Schmetterlingseffekt). Zählt man jetzt aber, wie häufig beim Durchlaufen der Rekursionen welcher Bildpunkt angesprungen wurde, und färbt die Bildpunkte in Abhängigkeit dieser Häufigkeit ein, kann man Bilder erhalten, in denen Ordung, z.B. Symmetry, zu erkennen ist.

Inspiriert durch dieses Buch habe ich einen Bildschirmschoner erstellt, der zufällige solche Bilder berechnet. Dazu habe ich aus dem Buch die Funktion für Symmetrische Objekte benutzt: Dabei sind alpha, beta, gamma, lambda und omega zufällige reelle Parameter und n ist eine zufällige natürliche Zahl. Die Parameter haben verschiedene Auswirkungen auf das Bild, das man erhält. Omega gibt z.B. an, wie stark das Bild von der Spiegelsymmetrie abweicht, und n gibt an, wieviele Rotationssymmetrien es gibt. Wenn man die Parameter zufällig wählt, ist es aber meistens so, dass man nicht das gewünschte Ergebnis erhält, weil die Folge der Funktionswerte z.B. gegen Unendlich strebt, nur einige wenige Häufungspunkte hat, oder sich auf einer dünnen Linie bewegt. Erkennt der Bildschirmschoner einen der Fälle, werden die Parameter neu ausgewürfelt, und die Berechnung beginnt erneut.

Hier ein Beispielbild, das vom Bildschirmschomer berechnet wurde:

Der Bildschirmschoner wurde unter Windows XP und Windows 2000 getestet, aber eine Garantie dafür, dass er immer reibungslos funktioniert, kann ich nicht übernehmen. Wahrscheinlich läuft er auch unter anderen Windowsversionen. Zum Installieren muss die Datei symchos.scr heruntergeladen und im Verzeichnis C:/Windows bzw. C:/WINNT gespeichert werden, oder die Datei wird an einem beliebigen Ort gespeichert und dann per Rechts-Klick und "Installieren" aktiviert.

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